A CIÊNCIA EXATA

A matemática (do grego máthēma [μάθημα]: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós [μαθηματικός]: apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

terça-feira, 3 de maio de 2011

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

 
O estudo do ponto na geometria analítica refere-se aos extremos de segmentos, vértices de polígonos ou condição de alinhamento. No plano cartesiano podemos representar, por exemplo, dois pontos A(xA,yA) e B(xB,yB) como na figura abaixo: 

Considerando os extremos estuda-se a distância e o ponto médio entre eles. A distância entre dois pontos é dada pela raiz quadrada da soma do quadrado da diferença entre as abscissas e entre as ordenadas, dAB e o ponto médio de um segmento AB é dado por M(xM,yM), onde a abscissa do ponto M é dada por: xM = (xA + xB) / 2 e a ordenada por: yM = (yA + yB) / 2, logo o ponto médio nada mais é do que a média aritmética dos extremos. Se o determinante formado pelas coordenadas de três pontos for nulo, isto é, sendo A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), dizemos então que os três pontos estão alinhados ou que são colineares, se:
              = 0

 
Exercício Resolvido
 
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é : 

a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3) 


Solução: 

Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D. 

2 - Sendo  A(1,2); B(3,5) e C(6,7) vértices de um triângulo, classifique esse triângulo.
 solução:
Como os pontos A, B e C são vértices de um triângulo, a distância entre dois vértices é um lado, para calcular os valores dos lados,  basta encontrar as distâncias entre esses vértices dois a dois. dAB2 = (3 1)2 + (5 2)2 = 4 + 9, então dAB = a distância entre B e C é dBC2 = (6 3)2 + (7 5)2 = 9 + 4 e portanto, dBC = e a distância entre A e C é dAC2 = (6 1)2 + (7 2)2 = 25 + 25 e daí, dAC = 5 e daí o triângulo tem dois lados iguais AB = BC logo, em relação aos lados ele é isósceles (pelo menos dois lados iguais) e em relação aos ângulos: pegamos o maior lado e elevamos ao quadrado dAC2 = 50 e a soma dos outros dois lados ao quadrado é dAB2 + dBC2 = 13 + 13 = 26. Como o maior lado ao quadrado é maior que a soma do quadrados dos outros dois, o triângulo é obtusângulo. 

 
3 - Considerando os vértices de um triângulo ABC, onde A(1,2); B(3,5) e C(6,7) encontre a mediana BM.

Solução:

Para obter uma mediana é necessário encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice que se tem, neste caso o vértice B. O ponto médio a encontra é o do segmento AC e portanto, é dado por xM = (xA + xC) / 2 = (1 + 6) / 2 = 7 / 2 e yM = (yA + yC) / 2 = (2 + 7) / 2 = 9 / 2 então, o ponto médio de BC é MAC(7/2,9/2). A distância entre o vértice B e o ponto médio M de AC é a mediana pedida, para calcular basta utilizar a fórmula dBM2 = (7/2 3)2 + (9/2 5)2 = (1/2)2 + (1/2)2 = 1/4 + 1/4 = 1/2, ou seja, dBM = / 2 .
 
4 -  Para que valor de k a área do triângulo de vértices A(k,2); B(3,5) e C(7,7) é 6?

Solução:
A área de um triângulo pode ser calculado pela metade do módulo do determinante formado pelas coordenadas dos três vértices, S = 1/2.
Calculando o determinante temos, 2k 6 e como a área deve ser 6 temos 6 = 1/2.(2k 6) ou 12 = 2k 6 ou 2k = 6 12 ou k = 9.


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