DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

 

O estudo do ponto na geometria analítica refere-se aos extremos de segmentos, vértices de polígonos ou condição de alinhamento. No plano cartesiano podemos representar, por exemplo, dois pontos A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B) como na figura abaixo: 

Considerando os extremos estuda-se a distância e o ponto médio entre eles. A distância entre dois pontos é dada pela raiz quadrada da soma do quadrado da diferença entre as abscissas e entre as ordenadas, d_AB =  e o ponto médio de um segmento AB é dado por M(x_M,y_M), onde a abscissa do ponto M é dada por: x_M = (x_A + x_B) / 2 e a ordenada por: y_M = (y_A + y_B) / 2, logo o ponto médio nada mais é do que a média aritmética dos extremos. Se o determinante formado pelas coordenadas de três pontos for nulo, isto é, sendo A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C), dizemos então que os três pontos estão alinhados ou que são colineares, se:

              = 0

 

Exercício Resolvido

 

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é : 

a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3) 

Solução: 

Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB² + AC² = BC² (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB² = ( 0 - 2 )² + ( y - 3 )² = 4 + ( y - 3 )²
AC² = ( 0 - (-4))² + ( y - 1)² = 16 + ( y - 1 )²
BC² = ( 2 - (-4))² + ( 3 - 1 )² = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )² + 16 + ( y - 1 )² = 40 \ ( y - 3 )² + ( y - 1)² = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y² - 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 20 \ 2y² - 8y - 10 = 0 \ y² - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D. 

2 - Sendo  A(1,2); B(3,5) e C(6,7) vértices de um triângulo, classifique esse triângulo.
 solução:

— Como os pontos A, B e C são vértices de um triângulo, a distância entre dois vértices é um lado, para calcular os valores dos lados,  basta encontrar as distâncias entre esses vértices dois a dois. d_AB² = (3 – 1)² + (5 – 2)² = 4 + 9, então d_AB = a distância entre B e C é d_BC² = (6 – 3)² + (7 – 5)² = 9 + 4 e portanto, d_BC = e a distância entre A e C é d_AC² = (6 – 1)² + (7 – 2)² = 25 + 25 e daí, d_AC = 5 e daí o triângulo tem dois lados iguais AB = BC logo, em relação aos lados ele é isósceles (pelo menos dois lados iguais) e em relação aos ângulos: pegamos o maior lado e elevamos ao quadrado d_AC² = 50 e a soma dos outros dois lados ao quadrado é d_AB² + d_BC² = 13 + 13 = 26. Como o maior lado ao quadrado é maior que a soma do quadrados dos outros dois, o triângulo é obtusângulo. 

 

3 - Considerando os vértices de um triângulo ABC, onde A(1,2); B(3,5) e C(6,7) encontre a mediana BM.

Solução:

Para obter uma mediana é necessário encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice que se tem, neste caso o vértice B. O ponto médio a encontra é o do segmento AC e portanto, é dado por x_M = (x_A + x_C) / 2 = (1 + 6) / 2 = 7 / 2 e y_M = (y_A + y_C) / 2 = (2 + 7) / 2 = 9 / 2 então, o ponto médio de BC é M_AC(7/2,9/2). A distância entre o vértice B e o ponto médio M de AC é a mediana pedida, para calcular basta utilizar a fórmula d_BM² = (7/2 – 3)² + (9/2 – 5)² = (1/2)² + (–1/2)² = 1/4 + 1/4 = 1/2, ou seja, d_BM = / 2 .
 

4 -  Para que valor de k a área do triângulo de vértices A(k,2); B(3,5) e C(7,7) é 6?

Solução:

A área de um triângulo pode ser calculado pela metade do módulo do determinante formado pelas coordenadas dos três vértices, S = 1/2.

Calculando o determinante temos, –2k – 6 e como a área deve ser 6 temos 6 = 1/2.(–2k – 6) ou 12 = –2k – 6 ou 2k = –6 –12 ou k = –9.