Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Função injetora ou biunívoca: Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é: x₁ ≠ x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂) ou f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

Exemplo1: A função y = 5x-2 é injetora pois dados x₁ ≠ x₂ podemos escrever f(x₁) - f(x₂) ≠ 0. Portanto, (5x₁ - 2) - (5x₂ -2) = 5 (x₁ - x₂) ≠ 0, pois x₁ ≠ x₂.

Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=x²+3 não é injetora, pois para x = 1 temos f(1) = 4 e para x = -1 temos f(-1) = 4.

Observando o diagrama, abaixo, vemos que os elementos do domínio estão ligados a um e somente um elemento do contradomínio, isto é, não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função f: A -> B é injetora, então n(A) ≤ n(B)

Função sobrejetora: É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
∀x∈B; ∃x∈A; y = f(x) ∴ CD(f) = Im(f).

Exemplo1: A função dada por y = 3x + 2 de R em R é sobrejetora pois para cada valor de x do domínio, existe pelo menos um correspondente (imagem) no contradomínio.

Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=2^x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

Observando o diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do contradomínio estão ligados a algum elemento do domínio, isto é, não sobram elementos no contradomínio. Portanto, se uma função f: A -> B é sobrejetora, então n(A) ≥ n(B).

Função bijetora: Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

Exemplo1: A função f:R->R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora

Exemplo2: A função f : R→ R definida por y = 4x - 1 é uma função bijetora, pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Observando o diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do domínio estão ligados a algum elemento do contradomínio e não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função f: A -> B é bijetora então n(A) = n(B)

Exercícios resolvidos

1) Verifique se a função f : Q→Q definida por f(x) = x² + 1 é injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora e nem sobrejetora.

Solução: Se f é injetora, f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂. Daí, x₁² + 1 = x₂² + 1 ⇒ x₁² = x₂²

Se f não é sobrejetora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x² + 1= 0. Como f não é sobrejetora ela também não pode ser bijetora. Portanto ela é injetora.

2) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x², é injetora.

Solução: A função f(x)=x2 não é injetora pois, por exemplo 1 ≠ -1 mas f(1) = f(-1) = 1.

3) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x + 1, é injetora.

Solução: A função f(x)=x+1 é injetora pois sempre x₁≠x₂, x₁+1 ≠ x₂+1.

4) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x², é sobrejetora.

Solução: A função f(x) = x² não é sobrejetora pois, por exemplo para f(x) = -1 não existe x tal que x² = -1.

5) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x+1, é sobrejetora.

Solução: A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y existe um inteiro x tal que x + 1 = y.

6) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x+1, é bijetora.

Solução: A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é injetora e sobrejetora.

7) Considere três funções f, g e h, tais que:

1. A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade;
2. A função g atribui a cada país, a sua capital;
3. A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:

a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) n.d.a.

Solução: Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x₁ ≠ x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂) . Logo, podemos concluir que: f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital. h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. Assim é que concluímos que a alternativa é a de letra C.

Exercícios propostos

1) Verifique em cada caso se a função é injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora e nem sobrejetora.

a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = x² + 3 c) f(x) = -2 d) f(x) = -2x³

e) f(x) = x⁹ f) f(x) = x⁴ + 2

2)Considere três funções f, g e h, tais que:

I - A função f atribui a cada pessoa do mundo, o seu nome;

II - A função g atribui a cada país, o seu idioma;

III - A função h atribui a cada número real, o seu triplo.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são bijetoras:

a) f, g e h b) f e h c) g e h d) f e g e) n.d.a.