FUNÇÃO EXPONENCIAL

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda relação de dependência, em que uma incógnita

 depende do valor da outra, é denominada função. 

A função denominada como exponencial possui essa

 relação de dependência e sua principal característica é

 que a parte variável representada por x se encontra no

 expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que

 a base elevada ao expoente x precisa ser maior que 

zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional 

entre outras situações. As funções exponenciais devem

 ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras

 envolvendo potenciação.

EXEMPLO: Uma determinada máquina industrial se

 deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua 

compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma

 constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver

 valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi

 comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ . 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ . 2 ^–2

12 000 = v₀ . 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 . 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL  

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k
 é um número racional, então:

• a^x. a^y= a^{x + y}
• 
  
• a^x / a^y= a^{x - y}
• 
  
• (a^x) ^y= a^x.y
• 
  
• (a b)^x = a^x b^x
• 
  
• (a / b)^x = a^x / b^x
• 
  
• a^-x = 1 / a^x
•   

Estas relações também são válidas para exponenciais de base e
(e = número de Euller = 2,718...)

• y = e^x se, e somente se, x = ln(y)
• 
  
• ln(e^x) =x
• 
  
• e^x+y= e^x.e^y
• 
  
• e^x-y = e^x/e^y
• 
  
• e^x.k = (e^x)^k
• 
  

•  CONSTANTE DE EULER

  Existe uma importantíssima constante matemática definida por

  e = exp(1)

  O número e é um número irracional e positivo e em função da

  Ln(e) = 1

  Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 

  O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

  e = 2,718281828459045235360287471352662497757

  Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 

  e^x = exp(x)
• 
  
• escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
• 
  
• 
  
• suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
• definição da função exponencial, temos que:
• 
  

• CONCLUSÃO

  Podemos dizer que as funções são utilizadas no

  A função pode ser expressa graficamente, o que 
• facilita a visualização do cálculo.
•  nosso dia a dia. Em cálculos rotineiros como em juros, produtividade de uma empresa...