CONJUNTOS

1. Determinar o conjunto X tal que:


1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}
2) {c,d} U X = {a,c,d,e}
3) {b,c,d} ∩ X = {c}

SOLUÇÃO:

De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de interseção de conjuntos que:

c ε X e que b e d não pertencem a X

Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da definição de união de conjuntos pode-se concluir que:

a, c, d e e são possíveis elementos de X

Mas como d não pode pertencer a X em decorrência da primeira igualdade acima, temos, até aqui, que X = {a,c,e}

E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, concluímos de forma análoga à colocada para a segunda igualdade que:

a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

E, como b e d não pertencem a X, concluímos então que X = {a,c,e}.

Para comprovar verifique que as três igualdades dadas são verdadeiras para X = {a,c,e}

2. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?

SOLUÇÃO:

Sejam:

U = {alunos da escola}

E = {alunos que estudam inglês}

F = {alunos que estudam francês}

Dados da questão:

n(U) = 415, onde n(U) representa o número de elementos de U

n(E) = 221

n(F) = 163 

n(E ∩ F) = 52

Logo para determinar quantos alunos estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, cuja demonstração não será feita aqui. No entanto você pode verificar, intuitivamente, a sua veracidade através de um diagrama de Euler-Venn:

n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 - 52 = 332

Como 332 são os alunos que estudam uma língua, vem que o número de alunos que não estudam nenhuma das duas é:

n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83

3. Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que:

n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(Z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é igual a:

SOLUÇÃO:Fazendo Z = A U B, obtemos:

n(A U B U C) = n(Z U C)

De [1] - dado da questão - e em seguida substituindo o valor de Z vem:

n(Z U C) = n(Z) + n(C) - n(Z ∩ C) = n(A U B) + n(C) - n((A U B) ∩ C)

Usando [1] novamente para n(A U B):

n(Z U C) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - n((A U B) ∩ C) [2]

Observe que o último termo de [2] pode ser escrito como indicado abaixo utilizando-se da propriedade distributiva da intersecção em relação à união:

(A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

Logo:

n((A U B) ∩ C) = n((A ∩ C) U (B ∩ C)) = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) [3]

Substituindo [3] em [2], trocando o sinal:

n(Z U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)