VETORES

  

Uma grandeza vetorial é tal que sua caracterização completa requer um conjunto de três atributos: o módulo, a direção e o sentido.

Direção: é aquilo que existe de comum num feixe de retas paralelas. As retas r, s e t são paralelas e, assim, têm a mesma direção. As retas t e w não são paralelas e, portanto, não têm a mesma direção.

Sentido: podemos percorrer uma direção em dois sentidos. Por exemplo, sobre a reta y temos dois sentidos de percurso: de A para B e de C para D.

Portanto, para cada direção existem dois sentidos.

Além da posição, a velocidade, aceleração e força são, por exemplo, grandezas vetoriais relevantes na Mecânica.

Representação gráfica de vetores

Um vetor é representado graficamente através de um segmento orientado (uma flecha). A vantagem dessa representação é que ela permite especificar a direção (e esta é dada pela reta que contém a flecha) e o sentido (especificado pela flecha). Além disso, o seu módulo (v) será especificado pelo "tamanho" da flecha, a partir de alguma convenção para a escala. Operação com vetores A representação gráfica já apresentada permite-nos executar uma série de operações com vetores (soma, subtração etc.). Podemos agora dizer, por exemplo, quando dois vetores são iguais. Eles são chamados de idênticos se tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A seguir, vão as definições dessas operações.

Soma de vetores

Sejam  e  dois vetores. A soma desses vetores é um terceiro vetor, o vetor resultante :

Para determinarmos o módulo, a direção e o sentido desse vetor resultante, utilizamos a regra do paralelogramo.

Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores  e .

a. Módulo do vetor resultante

É dado pela diagonal do paralelogramo, como indicado ao lado.

Assim,

onde  é o ângulo entre os dois vetores.

b. Direção

Aquela da reta que contém a diagonal que passa pela origem comum.

c. Sentido

A partir das origens dos dois vetores,  e  .

Subtração de vetores

 Consideremos os vetores  e . A subtração de vetores

resulta em um terceiro vetor (chamado diferença), cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores  e (- ).

O vetor -  tem módulo e direção iguais ao do vetor  mas tem o sentido oposto. Reduzimos o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de  e - .

Representação analítica de um vetor

Além da representação geométrica (ou gráfica) utilizada anteriormente, podemos fazer uso de uma outra representação, conhecida como representação analítica do vetor.

Na representação analítica também utilizamos um conjunto de três atributos de um vetor (esses atributos são conhecidos como componentes do vetor). Para a definição de componentes, a melhor alternativa - e a mais fácil - é usar um conjunto de coordenadas cartesianas.

Operações com vetores usando componentes

O uso das componentes de um vetor facilita especialmente na adição e subtração de vetores. Por exemplo, na soma de vetores

o vetor resultante v é tal que suas componentes são dadas pela soma das componentes de v₁ e v₂. Isto é,

No caso da subtração,

o vetor diferença tem suas componentes dadas pela subtração das componentes

Vetores no cotidiano

No carro

Quando um automóvel fica sem partida e é necessário empurrá-lo com a ajuda de várias pessoas, obviamente, todos empurram na mesma direção! Estão somando forças com a mesma direção e sentido.

Em casa

Às vezes é necessário empurrar um móvel relativamente pesado de um lugar para outro, sem a ajuda de outras pessoas. Dificilmente se consegue dar, de uma vez, a direção certa e vamos fazendo um ziguezague até chegar à posição final.

Na estrada

Para viajar de uma cidade a outra de automóvel é necessário seguir por ruas e estradas com orientações variadas até chegar ao destino final.

Levantamento objetos

Para carregar um cesto pesado em duas pessoas o que fazemos é compor forças adequadamente.

Bate-estaca

Um bate-estacas vai afundando um pilar em golpes sucessivos. Cada vez vai aplicando uma força na direção normal.