Prof.: Elieuza Ideão Leite: PRODUTO NOTÁVEIS

Os produtos notáveis aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. O termo “Produto” pode ser o resultado de uma função de multiplicação e o termo “notável” poder definido como “importante”, ou aquilo que se destaca.

Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ .

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.^[2]

Exemplos:
1. $\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
2. $(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2$

[editar]Quadrado da diferença de dois termos

A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

$(x - y)^2 = (x + (-y))^2 = x^2 + 2x(-y) + (-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Exemplos:
1. $\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$
2. $(1-2x)^2=1-4x+4x^2$

[editar]Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2=a^2-b^2$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplos:
1. $(a^2+b^3) \cdot (a^2-b^3)=a^4-b^6$
2. $\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

[editar]Cubo da diferença de dois termos

Regra básica: É o cubo do 1° termo, menos 3 vezes o produto do quadrado do 1° termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, menos o cubo do 2° termo.

$(x - y)^3=(x - y) \cdot (x - y)^2$

$= (x - y) \cdot (x^2 - 2xy + y^2)$

$= x^3 - 2(x^2)y + xy^2 - yx^2 + 2xy^2 - y^3$

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Exemplos:
1. $(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3$
2. $\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}$
3. $(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3$

[editar]Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da diferença apenas pelos sinais Regra básica: É o cubo do 1° termo, mais 3 vezes o produto do quadrado do 1°termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Exemplos:
1. $(m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3$
2. $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$

[editar]Quadrado da soma de três termos

$(a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + b^2 + ab + bc + ac + bc + c^2$

$\Rightarrow (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Exemplos:
1. $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$
2. $(x-2y-3)^2=x^2+(-2y)^2+(-3)^2+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)$
  $= x^2+4y^2+9-4xy-6x+12y$
  
  Exercícios resolvidos de produtos notáveis
  
  a) (3x+y)²
  
  (3x+y)² = (3x)²+2.3x.y+y² = 9x²+6xy+y²
  
  b) ((1/2)+x²)²
  
  ((1/2)+x²)² = (1/2)²+2.(1/2).x²+(x²)²
  
  = (1/4) +x²+x⁴
  
  c) ((2x/3)+4y³)²
  
  ((2x/3)+4y³)² = (2x/3)²-2.(2x/3).4y³+(4y³)²
  
  = (4/9)x²-(16/3)xy³+16y⁶
  
  d) (2x+3y)³
  
  (2x+3y)³
  
  = (2x)³+3.(2x)².3y+3.2x.(3y)²+(3y)³
  
  = 8x³+36x²y+54xy²+27y³